VĐ1: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

* Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không cùng nằm trên một mặt phẳng

* Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung.

2. Các tính chất

* Qua một điểm A cho trước không nằm trên trên đường thẳng b cho trước, có một và chỉ một đường thẳng a song song với b

* Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

* Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

3. Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BÀI TẬP ÁP DỤNG

 

 

Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q,  R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC, BD. Chứng minh tứ giác MQNP là hình bình hành.Từ đó suy ra 3 đoạn MN, PQ, RS cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn.

Bài 2. Cho tứ diện ABCD có I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD. Chứng minh IJ song song với CD.

Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, BC và Q là một điểm nằm trên cạnh AD và P là giao điểm của CD với mặt phẳng (MNQ). Chứng minh rằng PQ//MN và PQ//AC.

Bài 4. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF có chung hai cạnh AB và không cùng nằm trên một mặt phẳng. M trên đường chéo AC và N trên đường chéo BF với 

a. Chứng minh DM, AB và EN đồng quy tại trung điểm I của AB

b. Chứng minh MN song song với DE.

Bài tập đề nghị

Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, BC, DA, AC, BD.Chứng minh ba đoạn thẳng MN, PQ và RS đồng quy tại trung điểm G của mỗi đoạn. Điểm G đó gọi là trọng tâm của tứ diện ABCD đã cho.

Hướng dẫn

Vì MP là đường trung bình của tam giác ABC, NQ là đường trung bình của tam giác ADC nên MP // AC, NQ // AC. Vậy MP // NQ và MP = NQ, do đó tứ giác MPNQ là hình bình hành.

Từ đó, ta suy ra các đoạn thẳng MN và PQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.

Chứng minh tương tự, các đoạn thẳng MN và RS cũng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. Vậy, ba đoạn thẳng MN, PQ, RS đồng quy tại trung điểm G của mỗi đoạn thẳng đó.

Bài 2. Cho tứ diện ABCD, chứng minh hai đường thẳng AB và CD chéo nhau ?

Hướng dẫn

  Ta có: CD Ì(BCD)

             AB Ç(BCD) = B

               B ÏCD

Vậy AB và CD chéo nhau

Bài 3. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AD cắt BC. Hãy tìm điểm M nằm trên cạnh SD và điểm N trên  cạnh SD và điểm N trên cạnh SC sao cho AM//BN.

Hướng dẫn

Gọi I là giao điểm của BC và AD. Khi đó: (SAD)Ç(SBC) = SI

Giả sử có MÎSD, NÎSC sao cho AM//BN. Khi đó hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) cắt nhau theo giao tuyến  SI phải song song với AM và BN. Từ đó ta suy ra cách xác định điểm M và N như sau:

Từ A trong mp(SAD) ta kẻ đường thẳng song song với SI, cắt SD tại M; từ B trong mp(SBC) ta kẻ đường thẳng song song với SI, cắt SC tại N. Khi đó M và N hai điểm cần tìm. 

Bài 4. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC và SD. Chứng minh rằng:

a. ME//AC, NF//BD

b. Ba đường thẳng ME, NF, và SO ( O là giao điểm của AC và BD) đồng quy.

c. Bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng.

Hướng dẫn

a. Xét tam giác SAC. Ta có ME là đường trung bình nên ME//AC. Tương tự NF//BD.

b. Trong mp(SAC) gọi I giao điểm ME và SO. I trung điểm SO. FI là đường trung bình của tam giác SOD

Vậy FI//DO.

Gọi N’ là giao điểm của FI với SB

Do FN’//BD và F trung điểm của SD

Þ N’ trung điểm của SB, hay N’ºN

Vậy ba đường thẳng ME, NF, SO đồng quy tại I

c. Do ME và NF cắt nhau tại I, nên qua ME và NF xác định một mp. Từ đó suy ra bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng. 

VĐ2: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG. XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN

PP:

Bước 1: Tìm giao điểm chung của hai mặt phẳng

Bước 2: Áp dụng các định lý về giao tuyến để xác định phương giao tuyến (nghĩa là chứng minh giao tuyến song song với đường thẳng a đã có)

Từ đó suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng qua điểm chung và song song với a.

 

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với đáy lớn AD. Tìm giao tuyến các cặp mặt phẳng sau đây:

a. (SAC) và (SBD)

b. (SAD) và (SBC)

Bài 2. Cho hình bình hành ABCD và S là điểm không thuộc mặt phẳng của hình bình hành. Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC).

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành . Hãy xác định giao tuyến của các cặp mp (SAB) và (SCD)

Bài 4. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi S là điểm không thuộc mặt phẳng ( ABCD) sao cho SA = SB = a; SC = SD = a = x = Ö3; E, F lần lượt là trung điểm của SA và SB, M là điểm tùy ý trên BC.

a. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng (SAB) và (SCD); (SAD) và (SBC)

b. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng (MEF) và (ABCD). Suy ra giao điểm N của AD và mp(MEF). Chứng minh rằng tứ giác MNEF là hình thang cân.

Bài 5. Cho tứ diện ABCD.Gọi I và J tương ứng là trung điểm của BC và AC. M là một điểm tùy ý trên cạnh AD.

a. Tìm giao tuyến d của hai mp(MIJ) và mp (ABD)

b. Gọi N là giao điểm của BD với giao tuyến d và K là giao điểm của IN và JM. Tìm tập hợp điểm K di động trên đoạn AD (M không là trung điểm của AD)

c. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABK) và (MIJ)

Bài tập đề nghị

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD.Xác định giao tuyến của các mặt phẳng (SAD) và (SBC)

Hướng dẫn

S là điểm chung của

(SAD) và (SBC). Mà:

AD Ì(SAD)

BC Ì(SBC)

AD//BC

Nên giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng d qua S và song song với AD, BC.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, M thuộc SA. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MCD) và (SAB)

Hướng dẫn

Ta có: AB//CD

Hai mp(SAB) và (MCD) lần lượt chứa hai đường thẳng AB//CD thì giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua điểm M song song với AB cắt SB tại N.

Vậy MN là giao tuyến của hai mp (SAB) và (MCD).

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’, B’, C’ là ba điểm lấy trên các cạnh SA, SB, SC. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(A’B’C’).

Hướng dẫn

Trong (ABCD), gọi O = ACÇBD

Trong (SAC), gọi O’= A’C’ÇSO

Trong (SBD), gọi D’ = B’O’ÇSD

Có hai trường hợp:

Nếu D’ thuộc cạnh SD thì thiết diện là tứ giác A’B’C’D’

Nếu D’ không thuộc cạnh SD thì

Gọi E = CDÇC’D’

       F = ADÇA’D’

Þ Thiết diện là tứ giác A’B’EF.

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SAD; E là trung điểm của CB

a. Chứng minh rằng MN//BD

b. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp(MNE)

c. Gọi H và L lần lượt là các giao điểm của mp(MNE) với các cạnh SB và SD. Chứng minh rằng LH//BD.

Hướng dẫn

a. Gọi M’ và N’ lần lượt là trung điểm của AB và AD.

MN//M’N’,      M’N’//BD

Þ MN//BD

b. Ta có:

MN Ì(MNE)

BD Ì(ABCD)

MN//BD

Þ (MNE)Ç(ABCD) = Ex thỏa mãn Ex//NM//BD

Vậy từ E ta kẻ đường thẳng song song với BD lần lượt cắt CD, AB tại F, I. Nối IM lần lượt cắt SB và SA tại H và K; nối KN cắt SD tại L. Thiết diện cần tìm là ngũ giác KLFEH

c. Ta có:

MN Ìmp(MNE)

DB Ìmp(SBD)

MN//DB

Và (MNE)Ç(SBD) = LH

Þ LH//DB.